Grundzüge der Mathematischen Logik – Gisbert Hasenjaeger, Heinrich Scholz | buch7 – Der soziale Buchhandel
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Grundzüge der Mathematischen Logik

§ 1. Prolegomena 1. Die Logik, die in diesem Lehrbuch entwickelt wird, ist bestimmt durch die folgenden Kennzeichen: (1) Sie fuBt auf derselben Ontologie wie die von erkennbaren Wider­ sprlichen befreite und in diesem Sinne vertretbare klassische Mathe­ matik. Flir diese Ontologie ist charakteristisch die Grundvoraussetzung, daB die Objekte der Mathematik und mit ihnen die mathematischen Bereiche an sich existieren, wie die platonischen Ideen. Mit Bezug auf diesen An-sich-Charakter sprechen wir von einer platonischen Ontologie. Flir diese Ontologie existieren die unendlichen Bereiche beliebig hoher Machtigkeit als fertig vorliegende Objekte in derselben Art wie die durch Aufzahlung ihrer Elemente erfaBbaren endlichen Mengen und in gleichem Range mit ihnen. Die weittragenden Folgen dieser Auffassung sind in zwei Haupt­ punkten konzentriert. Erster Hauptpunkt: die Beurteilung der Potenz­ mengen. Mit den abzahlbaren Mengen existieren, genauso wie im end­ lichen Falle, auch ihre Potenzmengen, mit dem ihnen zukommenden Charakter der Uberabziihlbarkeit. Das Uberabzahlbare steht also gleich­ berechtigt neben dem Abzahlbaren. Zweiter Hauptpunkt: der flir den Platonismus charakteristische Gehalt des ausgeschlossenen Dritten. Es genligt hier, die mengentheoretische Formulierung dieses Prinzips ins Auge zu fassen. Sie besagt, daB eine flir die Elemente einer beliebigen Menge, also mit EinschlieBung der unendlichen Mengen von einer be­ liebigen Machtigkeit erklarte Eigenschaft allen Elementen der Menge zukommt oder es gibt (wenigstens) ein Mengenelement, dem sie nicht zukommt, unabhangig davon, ob ein solches Element angegeben werden kann oder nicht. Ein Anwendungsfall ist das der elementaren Zahlen­ theorie angeh6rige Prinzip der kleinsten Zahl.

Taschenbuch 02/2012
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Inhaltsverzeichnis

§ 1. Prolegomena.- § 2. Einführung in die Satzlogik.- § 3. Einführung in die Regellogik. Der Zusammenhang von Satzlogik und Regellogik.- § 4. Aufgabe und Charakter einer mathematischen Logik.- § 5. Grundlagen einer metasprachlichen Aussagentheorie.- § 6. Zur Logik und Symbolik der Metasprache.- § 7. Zeichen für Zeichen.- Erstes Hauptstück: Aussagenkalkül.- A) Konstituierung des Aussagenkalküls.- § 10. Der Aussagenkalkül (AK) auf semiotischer Basis.- § 11. Semantische Begründung des Aussagenkalküls.- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- § 12. Grundlegende Theoreme zur Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit eines A-Ausdrucks.- § 13. Gleichheiten im Aussagenkalkül.- § 14. Operatorentheorie der Bewertungsfunktoren.- § 15. Verallgemeinerungen der Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.- II. Spezielle Semantik.- § 16. Die Regeln der A-Einsetzung und der A-Ersetzung.- § 17. Aequivalenztheoreme.- § 18. Monotoniegesetze.- § 19. Grundgesetze der Konjunktion und der Alternative.- § 20. Prämissentheorie.- § 21. Theorie der Verneinung.- § 22. Definierbarkeitsmöglichkeiten.- § 23. Reduktions- und Reduzierbarkeitstheoreme. Die verneinungstechnische Umformung von A-Ausdrücken.- § 24. Die Dualität im Aussagenkalkül.- § 25. Das kanonische Darstellbarkeitstheorem.- § 26. Das Repräsentantentheorem des Aussagenkalküls.- § 27. Das Boolesche Darstellbarkeitstheorem.- § 28. Das Haubersche Theorem.- § 29. Noch einmal die Regel der A-Ersetzung.- III. Begriff und Theorie der mengenrelativen Erfüllung Seite.- § 30. Der mengenrelative Erfüllungsbegriff im Aussagenkalkül.- § 31. Das finitäre Erfüllungstheorem im Aussagenkalkül.- C) Deduktionstheoretische Betrachtungen.- § 32. Einführung der semantischen Folgerungsrelation ?A.- § 33. Einige grundlegende kalkülunabhängige Eigenschaften Von ?A.- § 34. Einige grundlegende kalkülabhängige Eigenschaften von ?A.- § 35. Der Operator Fl?A.- § 36. Ein Identitätskriterium für Folgerungsoperatoren.- § 37. Die Koinzidenz von Widerspruchsfreiheit und Erfüllbarkeit im Aussagenkalkül.- Zweites Hauptstück: Prädikatenkalkül.- A) Allgemeine Grundlegung.- § 50. Subjekte und Individuen, Prädikate und Attribute.- § 51. Zur Attributentheorie.- § 52. Der Prädikatenkalkül auf semiotischer Basis.- § 53. Die genauen Ausdrucksbestimmungen des Prädikatenkalküls mit Funktionalen (PFK).- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- I1. Grundlegung.- § 54. Die semantisch definierten P-Sätze.- § 55. Das erste Koinzidenztheorem des PFK.- § 56. Verallgemeinerte Umbelegungen.- § 57. Semantisch definierte Attribute.- § 58. Grundlegende Allgemeingültigkeitskriterien für P-Ausdrücke. Die Permanenz des AK im PFK.- § 59. Grundlagen der Quantorentheorie.- § 60. Gleichheiten im PFK.- § 61. Termeinsetzung und freie Umbenennung.- § 62. Die Einsetzungsregel für P-Variablen.- § 63. Die Eliminierbarkeit der Quantoren in endlichen Bereichen.- I2. Quasisyntaktische Fortsetzung.- § 64. Übergang zu einer quasisyntaktischen Semantik.- § 65. Theorie der gliedweisen Quantifizierung.- § 66. Die Ersetzungsregel im PFK.- § 67. Die Regel der gebundenen Umbenennung.- § 68. Externe und interne Verneinung von pränexen P-Ausdrücken.- § 69. Die Dualität im PFK.- § 70. Distributionstheoreme.- § 71. Theorie der Quantifikatorenverschiebung und Quantifikatorenbegrenzung.- § 72. Die Permutierbarkeit der Quantifikatoren.- § 73. Pränexe Aequivalente und Normalformen.- § 74. Totalpränexe P-Ausdrücke.- § 75. Die Skolemschen Normalformen und ihre Verschärfung für den PFK..- II. Theorie der numerischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit im PFK.- § 76. Homomorphismen und Isomorphismen in bezug auf Funktionen, Attribute und Belegungen. Das zweite und dritte Koinzidenztheorem des PFK.- § 77. Begriff und Grundlegung der Theorie der k-zahligen Allgememgultigkeit und Erfüllbarkeit.- § 78. Numerische Gleichheiten im PFK.- § 79. Das Theorem von Löwenheim und Skolem.- § 80. Repräsentantentheorie des PFK.- III. Das Entscheidungsproblem im PFK.- § 81. Die Entscheidbarkeit der Menge der offenen P-Ausdrücke.- § 82. Die Entscheidbarkeit der Mengen der k-zahlig identischen und der k-zahlig erfüllbaren P-Ausdrücke für endliche k.- § 83. Die Entscheidbarkeit der einstelligen P-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 84. Widerlegung einer Leibnizischen Reduzierbarkeitshypothese.- § 85. Die Entscheidbarkeit von Menge komplizierterer P-Ausdrücke ohne Funktionale. Die Krisis des allgemeinen Entscheidungsproblems. Übergang zur Syntax.- C) Syntax.- I. Allgemeine Syntax.- § 90. Die P-Ableitbarkeit und die P-Beweisbarkeit.- § 91. Semantische Folgerungen.- § 92. Grundlegende Eigenschaften erster Ordnung von ?P.- § 93. Die Grundregeln der P-Beweisbarkeit. Die Permanenz des AK im PFK*.- § 94. Die Unabhängigkeit der Grundregeln der P-Ableitbarkeit und der P-Beweisbarkeit.- § 95. Grundlegende Eigenschaften zweiter Ordnung von ?P.- § 96. Der Operator Fl?P.- § 97. Die Widerspruchsfreiheit des PFK*.- II. Spezielle Syntax.- § 98. Die syntaktische Theorie der gliedweisen Quantifizierung und die syntaktische Ersetzungsregel.- § 99. Grundlagen der syntaktischen Quantorentheorie.- § 100. Termeinsetzung. Freie und gebundene Umbenennung.- § 101. Die Einsetzungsregel für P-Variablen.- § 102. Externe und interne Verneinung von pränexen P-Ausdrücken. Die Dualität im PFK*.- § 103. Gleichheiten im PFK*.- § 104. Die syntaktische Quantifizierungstheorie im engeren Sinne.- D) Beziehungen zwischen Semantik und Syntax im PFK.- I. Die Bolzanosche Folgerungsrelation im PFK.- § 105. Einführung der Bolzanosche Folgerungsrelation ?P.- § 106. Die wissenschaftstheoretische Bedeutung von ?P.- § 107. Die Unterschiede zwischen ?P und ?P und ihre Überwindung. Das Deduktionstheorem.- II. Die semantische Vollständigkeit des PFK*.- § 108. Definition der semantischen Vollständigkeit für den PFK*.- § 109. Die mengenbestimmte Implikationsbeziehung lmplP.- § 110. Konstruktion einer maximal widerspruchsfreien Menge M?.- § 111. Die grundlegenden Eigenschaften von M?.- § 112. Ein abzählbares Modell von M?.- § 113. Mengen- und folgerungstheoretische Folgerungen.- § 114. Die semantische Vollständigkeit des PFK* und ihre Derivate.- § 115. Syntaktische Aequivalente der Identitäts- und Erfüllbarkeitsyerbundenheit im PFK.- Drittes Hauptstück: Prädikatenkalkül mit Identität (I-Kalkül).- A) Allgemeine Grundlegung.- § 120. Der universelle Charakter der Identität und Verschiedenheit.- § 121. Die Ausdrucksbestimmungen des I-Kalküls mit Funktionalen (IFK).- B) Semantik.- I. Allgemeine Semantik.- § 122. Die semantischen Satzbestimmungen des IFK.- § 123. Ein grundlegendes Allgemeingültigkeitskriterium für I-Ausdrücke. Die Permanenz des AK im IFK.- § 124. Leibniz-Ausdrücke und das Leibniz-Prinzip.- § 125. Die Permanenz des PFK im IFK.- II. Spezielle Semantik.- § 126. Die Sonderstellung der I-Formeln.- § 127. Gleichheiten im IFK.- § 128. Mindest-, Höchst- und Anzahlformeln.- § 129. Mindest-, Höchst- und Anzahlausdrücke.- § 130. Komplexe Mindestzahlausdrücke und-formein.- III. Theorie der numerischen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit.- § 131. Theorie der k-zahligen Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit im IFK.- § 132. Numerische Gleichheiten im IFK.- § 133. Das Theorem von Löwenheim und Skolem im IFK.- § 134. Die Boolesche Algebra im IFK.- § 135. Repräsentantentheorie des IFK.- IV. Die Entscheidbarkeit der Menge der einstelligen I-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 136. Überblick.- § 137. Die grundlegenden Eigenschaften der Identität und Verschiedenheit.- § 138. Die identitätstheoretischen Aequivalente für H (x) und H (xn).- § 139. Begriff und Theorie der numerischen Normalformen.- § 140. Hilfstheoreme zur Ausschaltung der P-Variablen.- § 141. Kontrapränexe Normalformen für einstellige I-Ausdrücke ohne Funktionale.- § 142. Von den kontrapränexen Normalformen zu den I-Formeln.- § 143. Von den I-Formeln zu den numerischen Normalformen.- C) Syntax.- I. Allgemeine Syntax.- § 150. Die I-Ableitbarkeit und die I-Beweisbarkeit.- § 151. Semantische Folgerungen. Die Widerspruchsfreiheit des IFK*.- § 152. Die Permanenz des PFK* im IFK*.- § 153. Gleichheiten im IFK*.- II. Spezielle Syntax.- § 154. Das Leibniz-Prinzip.- § 155. Zur syntaktischen Verschärfung des Entscheidungsverfahrens in den §§ 136 bis 143.- § 156. Die Aequivalente zu H(x) und H(xn).- § 157. Die Aequivalente zu ?z(z?x1? ··· ?z?xn ? H (z)).- § 158. Beziehungen zwischen verschiedenen Anzahlen.- § 159. Mindest- und Höchstzahl-Ausdrücke und -Formeln.- D) Beziehungen zwischen Syntax und Syntax im IFK.- I. Folgerungsbegriffe.- § 160. Die Bolzanosche Folgerungsrelation für den IFK.- §161. ?Iund ?I. Das Deduktionstheorem.- II. Widerspruchsfreiheit und Erfüllbarkeit im IFK.- § 162. Grundlagen.- § 163. Ein höchstens abzählbares Modell für die Henkin-Menge M?.- III. Folgerungen.- § 164. Mengen- und folgerungstheoretische Folgerungen.- § 165. Die semantische Vollständigkeit des IFK* und ihre Derivate.- § 166. Syntaktische Aequivalente der Identitäts- und Erfüllbarkeitsverbundenheit im IFK.- § 167. Zur Charakterisierung der natürlichen Zahlen im IFK.- Viertes Hauptstück: Einführung in die Stufenlogik.- A) Die Logik der zweiten Stufe.- § 200. Die Bedürfnisse der Mathematik.- § 201. Die Logik der zweiten Stufe (PFL(2)).- § 202. Ein Kalkül für die Logik der zweiten Stufe.- § 203. Ein Kalkül für die PFL(2) mit Auswahlprotonen.- § 204. Ableitungen aus den Auswahlprotonen.- § 205. Zum Repräsentantenproblem der PFL(2).- § 206. Das Theorem von Löwenheim-Skolem.- § 207. Eine konstruktive Attributentheorie.- B) Die volle Typentheorie.- § 208. Die Hierarchie der Typen.- § 209. Reduktionen der Typenhierarchie.- § 210. Ein funktionentheoretischer Kalkül.- § 211. Modelle der Arithmetik.- § 212. Ein mengentheoretischer Kalkül.- C) Erweiterungen der Typenlogik.- § 213. Der Rang als Verallgemeinerung der Stufe.- § 214. Die Objekte der Typentheorie in der RL?.- § 215. Eine semantische Axiomatisierung der RL? bzw. RL?+1.- § 216. Ein Kalkül zweiter Stufe für die Logik RL? bzw. RL?+1.- § 217. Kalküle erster Stufe für die Logiken RL? und RL?+1.- § 218. Zur Russellschen Antinomie.- § 219. Logiken unendlichen Ranges und mengentheoretische Logiken.- Fünftes Hauptstück: Die Theoreme von Church und Gödel.- § 230. Einleitung: Unmöglichkeitstheoreme.- § 231. Charakterisierung von arithmetischen Attributen im PFK*.- § 232. Vorläufige Definition von 1D518. Das Diagonalverfahren.- § 233. Die Arithmetisierung: Definition von H(m).- § 234. Reguläre Definitionen zur Arithmetisierung.- § 235. Die regulären Definitionen von echt regulären Attributen.- § 236. Argumente für die Angemessenheit der regulären Definitionen als Normalform für Aufzählungsverfahren.- § 237. Die Unentscheidbarkeit des Prädikatenkalküls.- § 238. Die Nichtaxiomatisierbarkeit der Stufenlogik.- Anhang: Regellogik.- § 250. Einführung in die Regellogik.- § 251. Der aussagenlogische Sequenzenkalkül (ASK).- § 252. Erweiterung zum Konsequenzenkalkül für die PL (PSK).- Namen- und Sachverzeichnis.

Produktdetails

EAN / 13-stellige ISBN 978-3642948152
10-stellige ISBN 3642948154
Verlag Springer Berlin Heidelberg
Sprache Deutsch
Anmerkungen zur Auflage Softcover reprint of the original 1st ed. 1961
Editionsform Hardcover / Softcover / Karten
Einbandart Taschenbuch
Erscheinungsdatum 12. Februar 2012
Seitenzahl 524
Beilage Paperback
Format (L×B×H) 22,9cm × 15,2cm × 2,8cm
Gewicht 750g
Warengruppe des Lieferanten Naturwissenschaften - Mathematik
Mehrwertsteuer 7% (im angegebenen Preis enthalten)
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